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  \begin{center}
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}


\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\noindent \textbf{Master Sciences de la Matière} \hfill \textbf{ENS Lyon} \\
\noindent \textbf{Année 2008-2009} \\
\hrule
\begin{center} \textbf{Travaux Dirigés de Physique Nucléaire-Physique des Particules} \end{center} 
\hrule

\vspace*{0.5cm}

\warning[Modèle en couches]{%
  applications du modèle en couches sphérique}

\vspace*{0.5cm}

\hrule

\vspace*{0.5cm}

\noindent\textbf{\underline{Exercice 1 :}} Résolution de l'OH en sphériques. Calcul de la densité.\\

On considère un potentiel à un corps harmonique de la forme $1/2m\omega^2r^2$. La fonction d'onde spatiale du nucléon s'écrit alors~:
$$
\phi_{nlm}(\gvec{r}) = R_{nl}(r) Y_{lm}(\theta,\varphi) 
$$
où $Y_{lm}(\theta,\varphi)$ représente l'harmonique sphérique $l,m$.\\

\quest{1} Montrer que la partie radiale s'écrit~:
$$
R_{nl}(r) = \mathcal{A} (\alpha r)^l e^{-\alpha^2 r^2 /2} L^{l+1/2}_n(\alpha^2 r^2) \quad \mathrm{avec} \quad \alpha=(m\omega/\hbar)^{1/2}
$$
où $L^{l+1/2}_n(x)$ est un polynôme de Laguerre et $\mathcal{A}$ un coefficient de normalisation~:
$$
\mathcal{A} = \left( \frac{2n! \alpha^3}{\Gamma(n+l+3/2)} \right)^{1/2} 
$$

\quest{2} Retrouver les niveaux d'énergie. Donner les dégénérescences éventuelles.\\

\quest{3} Application au calcul de la densité. Montrer que pour un noyau à couches fermées, de symètrie sphérique, la densité de protons s'écrit~:
$$
\rho(r) = 2\sum_{n,l \mathrm{occup\acute{e}s}} \frac{2l+1}{4\pi} |R_{nl}(r)|^2
$$

\quest{4} Montrer que si l'on prend l'$^{16}O$, décrit comme 2 protons dans l'état $1s$ et 6 dans l'état $1p$, la densité de charge s'écrit~:
$$
\rho(r) = \frac{2\alpha^3}{\pi^{3/2}} e^{-\alpha^2 r^2} (1+2\alpha^2 r^2)
$$
On donne~: $L_0^{1/2}=L_0^{3/2}=1$ et $L_1^{1/2}=3/2-x$. Représenter l'allure de la fonction $\rho(r)$.\\

\newpage
\noindent\textbf{\underline{Exercice 2 :}} Niveaux d'énergie, nombres magiques.\\

\quest{1} Construire les niveaux d'énergie en prenant successivement :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $V(r) = Kr^2/2$
\item[$\bullet$] $V(r) = Kr^2/2 + D \gvec{l}^2$
\item[$\bullet$] $V(r) = Kr^2/2 + D \gvec{l}^2 + g \gvec{l}.\gvec{s}$
\end{itemize}
On rappelle que les niveaux d'énergie pour un OH s'écrivent $E = \hbar\omega (N+3/2)$ avec $N=2n+l$ et on prendra $D=-0.025\hbar\omega$ et $g=-0.05\hbar\omega$. Donner la dégénérescence à chaque étape et retrouver les premiers nombres magiques.\\

\quest{2} Prédire les spins et parité de l'état fondamental et des 2 premiers états excités des noyaux suivants~: $^{209}_{82}Pb$, $^{209}_{83}Bi$, $^{41}_{20}Ca$. On rappelle la succession des couches supposée identique pour protons et neutrons~:
\begin{eqnarray*}
&& 1s_{1/2} \quad 1p_{3/2}1p_{1/2} \quad 1d_{5/2}2s_{1/2}1d_{3/2} \quad 1f_{7/2} \quad 2p_{3/2}1f_{5/2}2p_{1/2}1g_{9/2} \\
&& 2d_{5/2}1g_{7/2}1h_{11/2}2d_{3/2}3s_{1/2} \quad 1h_{9/2}2f_{7/2}2f_{5/2}3p_{3/2}1i_{13/2}3p_{1/2} \quad 2g_{9/2}1i_{11/2}3d_{5/2}2g_{7/2} \dots
\end{eqnarray*}

\vspace*{1cm}

\noindent\textbf{\underline{Exercice 3 :}} Lignes de Schmidt.\\

\quest{1} Déterminer le moment magnétique observable d'un noyau de $A$ impair en supposant qu'il n'est dû qu'au seul nucléon célibataire. On donne l'opérateur moment magnétique~:
$$
\gvec{\mu} = \mu_N (g_s \gvec{s} + g_l \gvec{l})
$$
avec $g_{sp}=5.59$, $g_{sn}=-3.82$, $g_{lp}=1$ et $g_{ln}=0$. On rappelle également le théorème de projection pour un opérateur $\gvec{V}$~: 
$$
\bra{\alpha jm}V_k\ket{\alpha jm} = \frac{\bra{\alpha jm}\gvec{V}.\gvec{J}\ket{\alpha jm}}{\bra{\alpha jm}J^2\ket{\alpha jm}}\bra{\alpha jm}J_k\ket{\alpha jm}
$$

\quest{2} Calculer la valeur moyenne de l'opérateur $\gvec{\mu}$ sur l'état $\ket{jm}$ avec $m=j$.\\ 

\quest{3} En déduire le moment magnétique de l'état fondamental des noyaux $^{17}_9F$ et $^{17}_8O$.
 
\end{document}

