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}


\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\noindent \textbf{Master Sciences de la Matière} \hfill \textbf{ENS Lyon} \\
\noindent \textbf{Année 2008-2009} \\
\hrule
\begin{center} \textbf{Travaux Dirigés de Physique Nucléaire} \end{center} 
\hrule

\vspace*{1cm}

\warning[Modes de désintégration]{%
  radioactivité $\alpha$, théorie de Gamov simple}

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\noindent\textbf{\underline{Exercice 1 :}} Barrière de potentiel.\\

On considère la propagation à 1D d'une particule à travers une barrière de potentiel carrée d'épaisseur $a$ telle que~:
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $V(x)=0$ pour $x<0$ (région $I$)
\item[$\bullet$] $V(x)=V_0$ pour $0<x<a$ (région $I\!\!I$)
\item[$\bullet$] $V(x)=0$ pour $a<x$ (région $I\!\!I\!\!I$)
\end{itemize}
Soit une onde d'énergie $E$ et de nombre d'onde $k_1$ en provenance de $x\to-\infty$. On se limite au cas où il n'y a pas d'onde retour dans la région $I\!\!I\!\!I$.\\
\quest{1} En appliquant l'équation de Schrödinger et les conditions de raccord aux limites, déterminer les coefficients de transmission et de réflexion de l'onde dans le cas où $E>V_0$.\\

\quest{2} Que deviennent les solutions précédentes dans le cas $E<V_0$ (effet tunnel) ? On posera~:
$$
\rho = \left( \frac{2m}{\hbar^2} (V_0 - E) \right)^{1/2}
$$

\quest{3} Une telle barrière de potentiel est dite "épaisse" dans l'approximation~: $\rho a \gg 1$. Calculer dans cette approximation le coefficient de transmission $T(E)$.\\

\quest{4} Cas d'une barrière quelconque. On se place maintenant dans le cas où la barrière n'est plus carrée mais conserve une valeur maximum supérieure à $E$. On appelle $x_{1,2}$ les abscisses des points vérifiant~: $V(x_1) = V(x_2) = E$. On divise la barrière en une infinité de "tranches" d'épaisseur $dx$ pour lesquels on suppose encore valable l'approximation de la question précédente. Montrer alors que le coefficient de transmission $T(E)$ se met sous la forme~:
$$
T(E) = e^{-2\int_{x_1}^{x_2} \rho(x) dx} 
$$


\noindent\textbf{\underline{Exercice 2 :}} Radioactivité $\alpha$. Théorie de Gamov.\\

La théorie de Gamov prévoit que la probabilité de désintégration $\alpha$ est égale aux produits de 3 termes~:
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] probabilité de formation d'un $\alpha$ dans le noyau
\item[$\bullet$] nombre de collisions de l'$\alpha$ à la surface du noyau
\item[$\bullet$] probabilité de franchissement de la barrière de potentiel
\end{itemize}

\quest{1} Justifier que le terme de collision soit de l'ordre de $v_\alpha/2R$, $v_\alpha$ désignant la vitesse de l'$\alpha$ émis. Calculer pour un noyau de masse $150<A<250$ émetteur d'$\alpha$ d'énergie moyenne $4<E_\alpha<7$ MeV ce terme de collision. Justifier que l'on puisse approcher ce terme par~$\sim 10^{21}$.\\ 
Application numérique~: 
\begin{eqnarray*}
^{238}_{94}Pu &\longrightarrow& ^{234}_{92}U + \alpha + 5.49 \mathrm{MeV}\\
^{238}_{92}U &\longrightarrow& ^{234}_{90}Th + \alpha + 4.2 \mathrm{MeV}\\
^{8}_{4}Be &\longrightarrow& \alpha + \alpha + 0.094 \mathrm{MeV}\\
\end{eqnarray*}

\quest{2} Le potentiel d'interaction $V(x)$, $x$ représentant la distance $\alpha$-noyau, peut-être modélisé par un puits carré de largeur $R$, correspondant à la zone d'attraction nucléaire, puis par une barrière de hauteur $V = 2Ze^2/R$ correspondant à la répulsion coulombienne. Représenter ce potentiel.\\

\quest{3} On s'intéresse ici à la probabilité de franchissement de la barrière de potentiel. En désignant par $R'$ la distance telle $V(R')=E_\alpha$, déterminer l'intégrale~:
$$
I = \int_R^{R'} dx \left( \frac{8m}{\hbar^2} (V(x) - E_\alpha) \right)^{1/2}
$$ 

\quest{4} Montrer que dans le cas $R \ll R'$ on obtient l'approximation suivante~:
$$
I \simeq \left( \frac{8mZze^2}{\hbar^2} \right)^{1/2} \left( \frac{\pi}{2}\sqrt{R'} - 2\sqrt{R} \right)
$$

\quest{5} Calculer le rayon $R$ en fonction du nombre de masse du noyau fils et de l'alpha.\\

\quest{6} Application numérique~: calculer les durées de vie $\alpha$ $\tau(^{238}Pu)$ et $\tau(^{8}Be)$ et comparer aux valeurs expérimentales~:
$$
\tau(^{8}Be) = 2.6\,\,10^{-17} \quad \mathrm{s}, \quad \tau(^{238}Pu) = 128 \quad \mathrm{ans}
$$
On rappelle que~: $\hbar c =197$ MeV.fm.

\end{document}

